Progressão Aritmética

Progressão aritmética: termo geral, soma e aplicações

O que é uma progressão aritmética

Uma progressão aritmética (PA) é uma sucessão numérica em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença chama-se razão (ou “diferença comum”) e denota-se por d. Formalmente:

a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, ...

É a mais simples das progressões. Exemplos triviais: os números naturais (1, 2, 3, 4, …) formam uma PA de razão 1; os múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20, …) formam uma PA de razão 5; a temperatura a subir 2 °C por hora modela-se por PA de razão 2.

A PA modela crescimentos ou decrescimentos lineares — situações em que se soma (ou subtrai) uma quantidade fixa a cada passo. É contrastante com a progressão geométrica, que modela crescimentos multiplicativos (exponenciais).

Fórmula do termo geral

O n-ésimo termo de uma PA calcula-se com:

aₙ = a₁ + (n − 1) · d

Onde a_1 é o primeiro termo, d a razão e n a posição.

Exemplo: PA com a_1 = 3 e d = 4. Termos: 3, 7, 11, 15, 19, … Décimo termo: a_{10} = 3 + 9 \times 4 = 39.

A fórmula generaliza-se: para saltar do termo a_m ao termo a_n:

aₙ = aₘ + (n − m) · d

Fórmula da soma

A soma dos primeiros n termos de uma PA — atribuída historicamente a Gauss aos 9 anos de idade (soma de 1 a 100 = 5050) — é:

Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2

Ou, substituindo a_n:

Sₙ = n · [2·a₁ + (n − 1)·d] / 2

Truque de Gauss: soma o primeiro com o último (a_1 + a_n), o segundo com o penúltimo (a_2 + a_{n-1}), etc. Todos os pares dão o mesmo valor. Há n/2 pares, portanto:

Sₙ = (n/2) · (a₁ + aₙ)

Exemplo: soma de 1 + 2 + 3 + … + 100 = 100 × 101 / 2 = 5050.

Exemplo prático

Amortização linear de empréstimo: crédito de 30 000 € a amortizar em capital constante ao longo de 60 meses (5 anos). Cada mês pagas 500 € de capital. Os juros mensais, calculados sobre o saldo devedor, formam uma PA decrescente:

• Mês 1: juros = 30 000 × (2/12)/100 = 50 € (a 2%/ano). Prestação = 500 + 50 = 550 €.
• Mês 2: saldo = 29 500. Juros = 49,17 €. Prestação = 549,17 €.
• Cada mês, juros descem 0,83 € — razão da PA.

Total de juros pagos ao longo dos 60 meses (soma da PA): S = 60 \times (50 + \text{juro}_{60}) / 2 = 60 \times (50 + 0.83) / 2 \approx 1525 €. Este cálculo — chamado “método francês inverso” ou “método alemão” — é usado em alguns contratos de crédito ao invés das prestações constantes tradicionais.

Poupança linear: se poupas 100 € este mês, 110 € no próximo, 120 € no terceiro e assim por diante, ao fim de 12 meses acumulaste:

S_{12} = 12 \times (100 + 210) / 2 = 12 \times 155 = 1860 €

O último mês (mês 12) tem valor a_{12} = 100 + 11 \times 10 = 210 €.

Quando usar

A PA é adequada para modelar:

• Amortização linear — capital constante e juros decrescentes.
• Depreciação linear — activos que perdem valor fixo por período (equipamentos, viaturas).
• Escalões salariais — progressão de carreira com aumentos fixos anuais.
• Cronogramas de produção — aumento fixo de output por ciclo.
• Fibonacci não é PA — cresce multiplicativamente; ver Fibonacci.

Situações que não são PA e frequentemente são tratadas como tal: juros compostos (é PG), inflação (é PG), rentabilidade cumulativa (é PG). Confundir PA com PG em finanças pode subestimar dramaticamente o crescimento no longo prazo.

Erros comuns

Confundir PA com PG. PA soma; PG multiplica. Se a diferença é constante, é PA. Se a razão (quociente entre termos consecutivos) é constante, é PG.

Contar mal os termos. De a_1 a a_n há n termos, não n − 1. A fórmula a_n = a_1 + (n − 1)d tem n − 1 “saltos” mas n termos.

Aplicar Gauss com n ímpar sem cuidado. A fórmula funciona também para n ímpar (n/2 pode ser fracção mas o produto é inteiro), mas alguns preferem escrever S_n = n(a_1 + a_n)/2 para evitar confusão.

Assumir que soma de PA é sempre positiva. Se a razão é negativa e há termos negativos, a soma pode ser negativa. Uma PA (10, 5, 0, −5, −10) com 5 termos soma 0.

Extrapolar para infinito. Uma PA infinita com d \neq 0 diverge (soma infinita). Só com d = 0 (sucessão constante) e a_1 = 0 é que soma zero.

Ver também

• Progressão geométrica — crescimento multiplicativo.
• Fibonacci — sucessão recursiva.
• Juros compostos — aplicação financeira de PG.