Sequência de Fibonacci

Sequência de Fibonacci: definição, razão áurea e usos práticos

O que é a sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é uma das sucessões mais célebres da matemática. Começa em 0 e 1, e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597… Foi introduzida no livro Liber Abaci (1202) do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, num problema teórico sobre reprodução de coelhos. O mesmo livro foi decisivo para a difusão dos algarismos indo-árabes na Europa cristã, substituindo os números romanos na aritmética prática.

O interesse da sequência vai muito além da curiosidade: aparece na disposição de pétalas de girassóis, escamas de pinhas, ramificação de árvores, espirais de conchas de nautilus, gerações de abelhas, dinâmicas populacionais e — em finanças — em análise técnica sob a forma de retracções de Fibonacci. É também um caso de estudo canónico em algoritmia, para ilustrar recursão, memoization e programação dinâmica.

Ligada intimamente à sequência está a razão áurea φ ≈ 1,6180339887, considerada esteticamente agradável desde a Antiguidade e usada em arquitectura (Parténon), pintura (Da Vinci) e design (proporções de cartões de crédito).

Fórmula

A definição recursiva é elegante:

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), para n ≥ 2

A recursão ingénua tem complexidade exponencial O(2ⁿ) — cada F(n) desdobra-se em duas chamadas, e há repetição massiva. Uma abordagem iterativa (guardar só os dois últimos valores) reduz a O(n) tempo e O(1) memória.

A fórmula fechada de Binet dá F(n) directamente:

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5

com φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180 e ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0,6180. Como |ψ| < 1, o termo ψⁿ decai rapidamente, e para n moderado basta:

F(n) ≈ φⁿ / √5    (arredondado para inteiro)

Uma propriedade notável: F(n+1) / F(n) → φ quando n → ∞. Já a partir de F(10)/F(9) = 55/34 ≈ 1,617, a razão está a 3 casas decimais de φ.

Exemplo prático

Cálculo iterativo até F(20):

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765

F(20) = 6765.

Verificação com Binet: F(20) ≈ 1,618⁰²⁰ / √5 ≈ 15126,999 / 2,236 ≈ 6764,999 ≈ 6765. Bate certo.

Retracções de Fibonacci em bolsa: um analista técnico identifica um movimento de subida do PSI-20 de 5000 para 6500 pontos (variação de 1500). Marca níveis de suporte esperados em recuos de 23,6%, 38,2%, 50% e 61,8% — proporções derivadas de razões entre termos da sequência (1/φ² ≈ 0,382, 1/φ ≈ 0,618). Suporte a 61,8%: 6500 − 1500 × 0,618 ≈ 5573.

Contexto biológico: um girassol típico tem entre 34 e 89 espirais de sementes em cada sentido — sempre números de Fibonacci consecutivos. A explicação teórica (Vogel, 1979) mostra que o ângulo 2π / φ² ≈ 137,5° maximiza o empacotamento de sementes ao longo do crescimento.

Contexto em Portugal

Nos programas escolares, Fibonacci aparece no ensino secundário como exemplo de sucessão por recorrência (Matemática A, 11.º ano). Em cursos de Informática (ISCTE, Instituto Superior Técnico, Universidade do Minho), é o exemplo canónico de memoization e programação dinâmica nos primeiros semestres de Algoritmos.

Em investimento, muitas plataformas de trading disponíveis a investidores portugueses (XTB, Degiro, corretoras nacionais) incluem ferramentas de retracção de Fibonacci nos gráficos técnicos. É importante notar que estas retracções são heurísticas populares, não teoremas matemáticos com valor preditivo demonstrado — servem como referências psicológicas do mercado, não como previsões fiáveis.

Erros comuns

Implementar recursão sem memoization. fib(50) recursivo puro faz mais de mil milhões de chamadas. Guardar resultados intermédios ou usar iteração baixa para milissegundos.

Confundir sequência com Lucas. Os números de Lucas seguem a mesma recorrência mas começam em 2 e 1: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Convergem também para φ na razão entre termos consecutivos.

Assumir F(0) = 1. Há duas convenções — começar em 0 ou em 1. A maioria dos textos modernos (e o Wikipedia inglês) começa em F(0) = 0. Verifica o input antes de comparar tabelas.

Sobrestimar poder preditivo em bolsa. Retracções de Fibonacci funcionam por auto-realização (muita gente traça as mesmas linhas). Não há relação matemática entre F e movimentos de preço — investe com fundamentais, não com padrões estéticos.

Ignorar overflow em inteiros de 32 bits. F(47) = 2 971 215 073, já ultrapassa 2³¹ − 1. Para calcular F acima de 46, usa 64 bits ou aritmética arbitrária.

Ver também

• Progressão geométrica — outra recorrência clássica
• Números romanos — o outro legado do Liber Abaci
• Combinatória — contagem discreta relacionada