Progressão geométrica: termo geral, soma finita e infinita
O que é uma progressão geométrica
Uma progressão geométrica (PG) é uma sucessão em que cada termo se obtém do anterior multiplicando por um valor constante — a razão, denotada por q (ou r). Formalmente:
a₁, a₁·q, a₁·q², a₁·q³, ...Enquanto a progressão aritmética modela crescimento linear (soma constante), a PG modela crescimento multiplicativo (exponencial). Esta diferença é a raiz de muitas ilusões populares: subestimar o crescimento composto é o erro cognitivo mais comum em finanças pessoais e demografia.
A PG está por trás de:
- Juros compostos — o dinheiro cresce por multiplicação.
- Crescimento populacional — populações duplicam em tempos geometricamente relacionados.
- Decaimento radioactivo — cada meia-vida reduz a massa por metade (PG de razão 0,5).
- Multiplicação bacteriana — divisão celular a cada X minutos.
Fórmula do termo geral
O n-ésimo termo é:
aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹Onde a_1 é o primeiro termo, q a razão e n a posição.
Exemplo: PG com a_1 = 3 e q = 2. Termos: 3, 6, 12, 24, 48, …
Décimo termo: a_{10} = 3 \times 2^9 = 3 \times 512 = 1536.
Se |q| > 1, a PG cresce sem limite. Se |q| < 1, decresce para zero. Se q = 1, é constante. Se q < 0, alterna sinal.
Soma finita
A soma dos primeiros n termos, para q \neq 1:
Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q)Equivalentemente S_n = a_1 (q^n - 1)/(q - 1) — as duas formas dão o mesmo valor.
Se q = 1, todos os termos são iguais a a_1 e S_n = n \cdot a_1 (é uma PA de razão 0).
Exemplo: soma dos primeiros 10 termos da PG (3, 6, 12, …): S_{10} = 3 \times (1 - 1024) / (1 - 2) = 3 \times 1023 = 3069.
Soma infinita (série geométrica)
Se |q| < 1 (razão em módulo menor que 1), a PG converge e a soma infinita é:
S∞ = a₁ / (1 − q)Exemplo clássico: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 / (1 - 1/2) = 2. Também conhecido como paradoxo de Zenão — a soma converge para 2, resolvendo o “paradoxo da tartaruga” de Aquiles.
Se |q| \geq 1, a soma infinita diverge — não tem valor finito.
Exemplo prático em Portugal
Juros compostos em PPR: colocas 5000 € a 4% de rentabilidade anual composta. O capital ao longo dos anos forma uma PG com a_1 = 5000 \times 1.04 = 5200 e razão q = 1.04:
- Ano 1: 5200 €
- Ano 5:
5000 \times 1.04^5 \approx 6083 € - Ano 10:
5000 \times 1.04^{10} \approx 7401 € - Ano 20:
5000 \times 1.04^{20} \approx 10 956 € - Ano 30:
5000 \times 1.04^{30} \approx 16 217 €
Repara: nos primeiros 10 anos o capital cresce ~2400 €. Nos últimos 10, cresce ~5300 €. É o efeito exponencial.
Aplicando a regra dos 72: 72 / 4 = 18 anos para duplicar. E de facto, 5000 × 1,04^18 ≈ 10 128 €.
Poupança periódica: aportes constantes de 100 €/mês num fundo a 5%/ano formam uma soma de PG. Ao fim de 20 anos, o valor futuro é ~41 100 €. Ver poupança com aportes.
Quando usar
Situações modeladas por PG:
- Investimentos compostos — capital que se reinveste.
- Inflação cumulativa — preços que sobem X%/ano.
- Rentabilidade de fundos — TAE, CAGR.
- Modelos epidémicos SIR (fase exponencial).
- Empréstimos com amortização francesa — a estrutura de capital em dívida segue PG.
- Depreciação por saldos declinantes — activos que perdem valor multiplicativamente.
Erros comuns
Confundir PG com PA. Uma poupança com aporte constante e juros é a soma de duas dinâmicas: os aportes formam PA em valor nominal mas o composto sobre eles é PG. É a diferença entre “poupar 100 € por mês” e “acumular 100 € por mês com juros”.
Assumir que soma infinita converge sempre. Se |q| \geq 1, diverge. Muita gente aplica a fórmula sem verificar.
Ignorar o sinal. Se q < 0, a PG alterna sinal. Uma PG (2, -6, 18, -54, …) tem razão -3 e a soma comporta-se de forma diferente.
Aplicar a PG a intervalos discretos e ler resultado como contínuo. Juros anuais compostos discretamente diferem de juros contínuos (e^{rt}). A diferença é pequena a taxas baixas, mas real.
Não descontar impostos. Em Portugal, mais-valias mobiliárias pagam 28% de IRS. Uma rentabilidade nominal de 6% deixa cerca de 4,3% líquidos — muda drasticamente a projecção a 30 anos.
Ver também
- Progressão aritmética — crescimento aditivo.
- Juros compostos — aplicação directa de PG.
- Regra dos 72 — aproximação da duplicação em PG.