Combinações, permutações e factorial

Combinações, permutações e arranjos: quando usar cada um

O que é a análise combinatória

A análise combinatória é o ramo da matemática que conta de quantas formas se podem organizar ou seleccionar elementos de um conjunto. É a base da probabilidade discreta e aparece em problemas tão distintos como calcular a probabilidade de sair o Euromilhões, quantas passwords de 8 caracteres existem, quantos genótipos resultam de cruzamentos ou quantos torneios distintos se podem fazer com N equipas.

Três conceitos organizam quase todos os problemas: permutações (ordenar tudo), arranjos (escolher e ordenar uma parte) e combinações (escolher sem ordem). A confusão entre eles é a principal fonte de erro. A pergunta-chave é sempre a mesma: a ordem importa? Se sim, permutação ou arranjo. Se não, combinação.

Um segundo eixo é a repetição: se um elemento pode ser escolhido mais do que uma vez, as fórmulas mudam. É a diferença entre um código PIN (com repetição) e uma sequência de cartas de baralho (sem).

Fórmulas

O bloco de construção é o factorial: n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1, com 0! = 1 por convenção. Cresce vertiginosamente — 10! = 3 628 800, 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸.

Permutação simples de n elementos (todos distintos, ordem importa):

P(n) = n!

Arranjo de n elementos tomados p a p (escolher e ordenar p, sem repetição):

A(n, p) = n! / (n − p)!

Combinação de n tomados p a p (escolher p, sem ordem, sem repetição):

C(n, p) = n! / (p! × (n − p)!)

Arranjo com repetição: n^p. Combinação com repetição: C(n + p − 1, p).

A relação C(n, p) = A(n, p) / p! é intuitiva: dividir o número de arranjos pelas p! ordenações possíveis de cada selecção elimina a duplicação.

Exemplo prático

Euromilhões: escolhes 5 números de 1 a 50 (sem ordem) e 2 estrelas de 1 a 12. A probabilidade de acertar tudo é:

C(50, 5) × C(12, 2) = 2 118 760 × 66 = 139 838 160

Uma em quase 140 milhões. Compra 1 aposta por semana e, em média, ganharias o primeiro prémio uma vez a cada 2,7 milhões de anos.

Passwords de 8 caracteres, com letras minúsculas + maiúsculas + dígitos (62 símbolos), com repetição: 62⁸ = 218 340 105 584 896 — cerca de 218 biliões. Aumentar para 12 caracteres dá 62¹² ≈ 3,2 × 10²¹. É esse crescimento exponencial que torna passwords longas resistentes a força-bruta.

Torneios: com 8 equipas a jogar todas contra todas uma vez, número de jogos é C(8, 2) = 28. Se cada jogo tiver ida e volta, são 56.

Contexto em Portugal

O programa curricular português introduz o factorial e permutações no 12.º ano de Matemática A. Em provas de acesso (Exame Nacional, provas de admissão a mestrados) a combinatória é praticamente garantida.

Fora do liceu, os cálculos combinatórios são pão nosso em segurança informática (entropia de passwords), em bioestatística (número de genótipos possíveis num cruzamento), em logística (rotas possíveis num sistema de entregas) e em auditoria de amostragens. O INE e o INSA usam combinações quando calculam probabilidades de eventos em amostras representativas.

Erros comuns

Confundir combinação com arranjo. Se estás a escolher 3 pessoas de 10 para um pódio (1.º, 2.º, 3.º), a ordem importa: A(10, 3) = 720. Se é só um comité de 3 sem cargos, C(10, 3) = 120. Um factor 6 (3!) de diferença.

Esquecer a repetição. Um código PIN de 4 dígitos tem 10⁴ = 10 000 combinações porque o dígito pode repetir. Se assumires sem repetição, obténs A(10, 4) = 5040 — errado.

Aplicar factoriais a números grandes sem cuidado. 100! tem 158 dígitos. Usar bibliotecas ou logaritmos evita overflow. A fórmula de Stirling (n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n) dá aproximações rápidas.

Contar duas vezes o mesmo caso. Sempre que a ordem não interessa e usas produtos em vez de combinações, duplicas. Um cruzamento de 3 pessoas de 10, por produtos ingénuos, dá 10 × 9 × 8 = 720, mas há 3! = 6 ordens da mesma tríade — logo 120.

Ignorar restrições. “Quantos anagramas de BATATA?” não são 6! = 720 porque há letras repetidas. Divide-se pelo factorial de cada repetição: 6! / (3! × 2!) = 60.

Ver também

• Progressão aritmética e progressão geométrica — quando aparecem em problemas de contagem
• Sequência de Fibonacci — recorrência com raízes combinatórias