Equação de 2º grau

Como resolver equações do 2º grau com a fórmula resolvente

O que é uma equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau (ou quadrática) é qualquer equação que se possa escrever na forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. É uma das ferramentas mais reutilizadas em matemática aplicada: aparece em cinemática (movimento uniformemente acelerado), em finanças (cálculo de taxa interna quando há dois períodos) e em geometria sempre que uma área depende de uma incógnita ao quadrado.

Chama-se “do 2º grau” porque o grau de uma equação polinomial é o maior expoente da incógnita. Aqui é 2, o que garante no máximo duas soluções reais — ou uma dupla, ou nenhuma real (mas duas complexas conjugadas). Essa possibilidade de “duas respostas” é o que distingue conceitualmente as quadráticas das lineares e o que torna essencial interpretar o problema para escolher a raiz válida.

A resolução manual pode ser feita por três vias: fórmula resolvente (a via universal), factorização (quando as raízes são inteiras óbvias) ou completar o quadrado (útil para provas). A resolvente é a que nunca falha.

Fórmula

A fórmula resolvente, também dita fórmula de Bhaskara em contexto lusófono, é:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

O termo Δ = b² − 4ac chama-se discriminante. É ele que decide a natureza das soluções:

• Se Δ > 0: duas raízes reais distintas.
• Se Δ = 0: uma raiz real dupla (x = −b / 2a).
• Se Δ < 0: duas raízes complexas conjugadas (sem solução no domínio real).

Para casos incompletos, há atalhos: se b = 0 (ax² + c = 0), resolve-se por x = ±√(−c/a); se c = 0 (ax² + bx = 0), factoriza-se para x(ax + b) = 0, dando x = 0 e x = −b/a.

Uma alternativa útil é a soma e produto das raízes: x₁ + x₂ = −b/a e x₁ × x₂ = c/a. Permite validar rapidamente se um par de números é solução.

Exemplo prático

Considera 2x² − 5x − 3 = 0. Identifica a = 2, b = −5, c = −3.

• Discriminante: Δ = (−5)² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49.
• √49 = 7.
• Raízes: x = (5 ± 7) / 4, ou seja, x₁ = 3 e x₂ = −0,5.

Verifica pela soma/produto: 3 + (−0,5) = 2,5 = −(−5)/2. Confere.

Aplicação física: um objecto é lançado verticalmente com velocidade inicial de 20 m/s. A altura é h(t) = 20t − 4,9t². Quando toca no chão (h = 0)? Factorizando: t(20 − 4,9t) = 0, ou seja, t = 0 (lançamento) ou t ≈ 4,08 s (queda). A trigonometria resolve o caso em que o lançamento tem ângulo.

Contexto em Portugal

O programa escolar português introduz a fórmula resolvente no 9.º ano (Aprendizagens Essenciais da DGE), depois de trabalhar factorização e casos incompletos. No secundário (10.º–12.º), aparece em funções quadráticas, sistemas e inequações.

Fora do liceu, aparece nas provas de acesso ao ensino superior (Exame Nacional de Matemática A) e em testes de recrutamento técnico (engenharia, actuariado, finanças). No mundo do trabalho, a versão matricial (a raiz de um polinómio característico) é o fundamento da análise de estabilidade em sistemas dinâmicos.

Erros comuns

Esquecer o sinal do −b. Escrever x = (b ± √Δ)/2a em vez de x = (−b ± √Δ)/2a inverte as raízes quando b é positivo. Confirma sempre pela soma/produto.

Calcular mal o discriminante com a ou c negativos. 4ac conserva o sinal do produto: se a = 2 e c = −3, então 4ac = −24, e −4ac = +24. Um sinal trocado dá um discriminante errado e leva a soluções fantasma.

Ignorar Δ < 0. Em contextos reais (tempo, comprimento, dinheiro), um discriminante negativo significa inexistência de solução, não erro de conta. Aceita a resposta “impossível” quando o problema o exigir.

Aceitar raízes fisicamente absurdas. Um problema de altura pode dar t = −2 s como raiz matemática — descarta e fica só com a raiz positiva. A fórmula de Heron e problemas geométricos também exigem sempre resultados positivos.

Dividir por a cedo demais. Reduzir a equação a x² + (b/a)x + (c/a) = 0 só ajuda se a for inteiro pequeno; com fracções, a resolvente aplicada directamente é mais limpa.

Ver também

• Trigonometria — para lançamentos com ângulo
• Sistema de equações — quando há duas incógnitas
• Fibonacci — outra recorrência clássica com raízes quadráticas