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Regressão Linear Simples

Dada uma lista de pares (x, y), calculamos a recta que melhor os ajusta pelo método dos mínimos quadrados. Devolve a equação y = mx + b, o coeficiente de determinação R² (0 a 1: quanta variância é explicada) e a correlação de Pearson (−1 a 1: força e sentido).

Pontos (x, y)
Ponto 1x =y =
Ponto 2x =y =
Ponto 3x =y =
Ponto 4x =y =
Equação da recta
y = 2.0000x + 0.0000
Declive (m)2
Ordenada na origem (b)0
R² (coef. determinação)1
r (Pearson)1
Média x2,5
Média y5
Nº pontos4
Comparar

Regressão linear: método dos mínimos quadrados e R²

O que é a regressão linear

A regressão linear é a técnica estatística mais antiga e mais usada para modelar a relação entre uma variável dependente (y) e uma ou mais variáveis independentes (x). Assume que a relação é aproximadamente linear e ajusta uma recta (ou hiperplano, em dimensões superiores) que minimiza o erro entre pontos observados e previsões.

Foi formalizada por Adrien-Marie Legendre em 1805 e independentemente por Carl Friedrich Gauss em 1809, no contexto de cálculos astronómicos — para prever a órbita do asteroide Ceres. Desde então, tornou-se pilar de econometria, machine learning, epidemiologia, biologia experimental, finanças e engenharia industrial.

A regressão linear responde a duas perguntas complementares: explicativa — “quanto varia y quando x varia?” — e preditiva — “dado um novo x, qual será o y esperado?”. A simplicidade não é um defeito: mesmo com métodos modernos de deep learning à disposição, muitos problemas reais continuam a resolver-se com uma boa recta e um bom entendimento dos dados.

Como se calcula

Para regressão linear simples (y = a + b × x), o método dos mínimos quadrados encontra a (intercepto) e b (declive) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:

S = Σ (yᵢ − (a + b × xᵢ))²

Derivando S em ordem a a e b e igualando a zero, obtém-se:

b = Σ((xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)) / Σ((xᵢ − x̄)²)
a = ȳ − b × x̄

Onde x̄ e ȳ são as médias de x e y.

O coeficiente de determinação R² mede a qualidade do ajuste:

R² = 1 − (SQR / SQT)

Com SQR = Σ(yᵢ − ŷᵢ)² (soma dos quadrados dos resíduos) e SQT = Σ(yᵢ − ȳ)² (soma total dos quadrados). R² varia entre 0 e 1: 1 = ajuste perfeito, 0 = a recta não explica melhor que a média. Valores acima de 0,7 são geralmente considerados fortes em ciências sociais; em física ou engenharia, esperam-se valores acima de 0,95.

Exemplo prático

Preço de casas por m² em função da área útil. Amostra simplificada de 5 imóveis em Lisboa:

Área (m²) Preço (k€)
60 210
75 260
90 315
110 380
130 460
  • x̄ = 93, ȳ = 325
  • Σ((xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)) = (-33)(-115) + (-18)(-65) + (-3)(-10) + 17×55 + 37×135 = 3795 + 1170 + 30 + 935 + 4995 = 10 925
  • Σ((xᵢ − x̄)²) = 1089 + 324 + 9 + 289 + 1369 = 3080
  • b = 10 925 / 3080 ≈ 3,547
  • a = 325 − 3,547 × 93 ≈ −4,84

Recta: preço ≈ −4,84 + 3,55 × área. Interpretação: cada m² adicional aumenta o preço em cerca de 3550 €.

Para uma casa de 100 m²: preço ≈ −4,84 + 3,55 × 100 ≈ 350 k€.

Cálculo aproximado de R² dá ≈ 0,995 — ajuste muito forte, típico de dados sintéticos. Em dados reais de mercado, seria mais realista R² ≈ 0,4–0,6, porque preço depende de localização, estado, andar, tipologia — não só de área.

Quando usar

A regressão linear é útil quando:

  • A relação parece linear — visualiza o gráfico de dispersão antes de tudo.
  • Precisas de interpretabilidade — o declive tem significado directo (unidades reais).
  • Tens amostra suficiente — regra prática: pelo menos 10 observações por variável independente.
  • Os resíduos são aproximadamente normais — condição para intervalos de confiança válidos.

Aplicações típicas em Portugal:

  • Preço imobiliário por área/localização (Confidencial Imobiliário, INE).
  • Consumo eléctrico vs. temperatura (companhias de electricidade).
  • Rendimento agrícola vs. precipitação (avaliação de seguros).
  • Salário bruto vs. anos de experiência (RH e sindicatos).

Não é adequada quando:

  • A relação é claramente não-linear — usa regressão polinomial, GAMs ou métodos não-paramétricos.
  • Há muitos outliers — considera regressão robusta (Huber, RANSAC).
  • Variáveis independentes são altamente correlacionadas — regressão múltipla sofre de multicolinearidade.

Erros comuns

Confundir correlação com causalidade. Um R² = 0,9 mostra forte associação, não relação causal. Vendas de gelados e afogamentos correlacionam-se — mas ambos dependem do calor, não um do outro.

Extrapolar para fora do domínio observado. Se os teus dados vão de área 60 a 130 m², prever preço para 500 m² é aventura. A recta é uma aproximação local.

Confiar apenas no R². Um R² alto pode esconder padrões nos resíduos (heteroscedasticidade, não-linearidade). Sempre inspecciona graficamente os resíduos.

Ignorar outliers influentes. Um único ponto extremo pode desviar drasticamente a recta. Analisa distância de Cook ou leverage para identificar observações influentes.

Aplicar sem verificar pressupostos. Regressão linear clássica assume linearidade, independência, homoscedasticidade e normalidade dos resíduos (LINHOM). Se falham, o modelo produz números — mas os intervalos de confiança são falsos.

Ver também

Perguntas frequentes

04 entradas
O que quer dizer o R²?

É a proporção da variância de y explicada pela variável x. R² = 0,85 significa que 85% da variação de y é captada pela recta e 15% fica no ruído/outras causas. R² > 0,7 costuma indicar relação forte; < 0,3 é fraca. Não confundas com correlação (Pearson), que é o sinal e a força mas não a proporção.

R² alto significa causalidade?

Não. Correlação alta pode dever-se a: causa directa, causa comum a ambos, coincidência, causalidade inversa. Consumo de gelado e afogamentos correlacionam-se — porque ambos sobem no Verão, não porque um cause o outro. Precisas de teoria e desenho experimental para inferir causa.

Quantos pontos são necessários?

Matemático: 2 chegam para desenhar uma recta, mas o R² fica sempre 1 (não diz nada). Estatística prática: mínimo 5–10 pontos para começar a confiar; 30+ para inferências robustas. Menos pontos exigem mais teoria e menos entusiasmo com o coeficiente.

E se os dados não são lineares?

A regressão linear não vai captar bem. Sintomas: R² baixo, resíduos com padrão (curvatura, forma de U). Alternativas: transformação logarítmica de x ou y, regressão polinomial, ou modelos não-lineares (exponencial, potência). Antes de tudo faz um gráfico dos pontos — a inspecção visual poupa muito trabalho.

Ver também