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Calculadora de raiz quadrada

Introduza o número e escolha a ordem da raiz.

2 = quadrada, 3 = cúbica, etc.
√144
12
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Raiz quadrada: cálculo manual e a irracionalidade de √2

O que é uma raiz quadrada

A raiz quadrada de um número não-negativo x é o número não-negativo y tal que y² = x. Escreve-se √x. Assim, √25 = 5, √2 ≈ 1,4142 e √0 = 0. É a operação inversa da potência de expoente 2 e uma das raízes mais antigas e úteis da matemática.

A tabuleta babilónica YBC 7289, com cerca de 3 800 anos, mostra uma aproximação de √2 com precisão de cinco casas decimais — feita sem calculadora nem sequer sem álgebra formal. Os métodos manuais desenvolvidos ao longo da história continuam a ser úteis para verificação rápida ou quando não há tecnologia disponível.

Em Portugal, a raiz quadrada entra no currículo do 8.º ano (Matemática, tema Números Racionais e Irracionais) e é usada em geometria (teorema de Pitágoras), estatística (desvio-padrão), física (velocidade), engenharia e mesmo em finanças (cálculo de volatilidade anualizada).

Fórmula

Formalmente:

√x = y  ⟺  y² = x, com y ≥ 0

Método de Herão (ou de Newton) — algoritmo iterativo, um dos mais elegantes:

y_{n+1} = (y_n + x / y_n) / 2

Escolhe uma estimativa inicial y_0, aplica a fórmula, repete. A convergência é quadrática — o número de casas decimais correctas duplica em cada iteração. Duas ou três iterações chegam para precisão prática.

Exemplo para √10:

  • y_0 = 3 (porque 3² = 9 está perto)
  • y_1 = (3 + 10/3)/2 = 3,1667
  • y_2 = (3,1667 + 10/3,1667)/2 = 3,1623

Valor real: 3,16228. Duas iterações e temos 5 casas certas.

Aproximação linear (menos precisa mas útil mentalmente):

√(a² + b) ≈ a + b/(2a)  para |b| pequeno face a a²

Assim √50 ≈ 7 + 1/14 ≈ 7,0714 (real: 7,0711).

Exemplo prático

Teorema de Pitágoras. Um terreno rectangular tem 30 m por 40 m. A diagonal (para colocar uma cerca em diagonal) é:

d = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 m

Diagonal do formato A4. As folhas ISO 216 têm proporção √2 : 1 — precisamente esta escolha permite que dobrar ao meio produza a mesma proporção. A4 mede 210 × 297 mm; a diagonal é √(210² + 297²) = √(44 100 + 88 209) = √132 309 ≈ 363,7 mm.

Volatilidade anualizada. Um fundo com desvio-padrão diário de 1% tem volatilidade anualizada de 1% × √252 ≈ 15,87% (252 dias úteis por ano). Esta convenção usa-se em análise de risco de ETF e fundos de investimento.

Distância euclidiana no GPS. Para pontos próximos (na mesma cidade), a distância é √((Δx)² + (Δy)²) com Δx e Δy em metros. Para distâncias grandes é preciso usar a distância GPS com fórmula de Haversine.

Contexto e curiosidades

√2 é irracional — a demonstração clássica atribuída à escola pitagórica é uma das primeiras demonstrações por absurdo da história. Se √2 = p/q com p/q irredutível, então p² = 2q², o que implica p par, q par, contradição. Este resultado terá causado uma crise filosófica nos pitagóricos, que acreditavam que tudo podia ser expresso como fracção.

√2 ≈ 1,41421356... — número transcendente-parecido mas apenas algébrico. Aparece em papel A-series, corrente eléctrica alterna (valor de pico = valor eficaz × √2), aceleração da gravidade em geometria e mesmo na diagonal de um quadrado unitário.

Números perfeitos têm raízes quadradas inteiras: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Todos os outros positivos têm raízes irracionais. Memoriza pelo menos até 20 (14² = 196, 20² = 400) — poupa tempo em cálculo mental.

Erros comuns

Assumir que √(a² + b²) = a + b. É o erro clássico do teorema de Pitágoras invertido. √(3² + 4²) = 5, não 7.

Esquecer que √(a·b) = √a · √b só vale para reais não negativos. Com números negativos entra o imaginário e as regras mudam.

Confundir √x² com x. O correcto é |x|. Em equações do 2.º grau, a raiz produz duas soluções (positiva e negativa).

Aproximar sem verificar precisão. Para √1000000, uma calculadora dá 1000 exacto. Para √999999, dá 999,9995 — mas se arredondares mal, o erro propaga. Em engenharia, sempre pelo menos 4 casas decimais.

Iniciar Herão com estimativa muito má. Se começares √1000 com y_0 = 1, precisas de muitas iterações. Escolhe sempre uma potência perto (31² = 961, 32² = 1024, portanto y_0 = 31).

Usar √ em expressões negativas sem considerar complexos. Em contexto real (secundário, engenharia), assume x ≥ 0. Em Excel e algumas linguagens, SQRT(−1) devolve erro; noutras (como Python cmath), devolve 1j.

Ver também

Perguntas frequentes

03 entradas
Como se calcula uma raiz quadrada?

√a é o número que, elevado ao quadrado, dá a. √16 = 4 porque 4² = 16. Para valores não-perfeitos, aproxima-se: √20 ≈ 4,47. Todo o número positivo tem uma raiz quadrada real (positiva). Números negativos não têm raiz quadrada real — só complexa (com i).

Como calcular √a à mão para números não-perfeitos?

Método de aproximação: encontra os quadrados perfeitos mais próximos. √50: 7² = 49, 8² = 64. √50 está entre 7 e 8, mais perto de 7. Refina: 7,1² = 50,41. Portanto √50 ≈ 7,07. Método rigoroso: Newton-Raphson (iterativo). Calculadoras usam algoritmos internos precisos.

E raízes de ordem 3, 4, 5?

ⁿ√a é o número que elevado a n dá a. ∛27 = 3 porque 3³ = 27. Raízes ímpares (3, 5, 7...) existem para negativos: ∛(-8) = -2. Raízes pares (2, 4, 6...) NÃO existem para negativos nos reais. A calculadora reflecte esta regra e devolve erro nesses casos.

Ver também