Sistema de Equações 2×2

Sistema de equações lineares: métodos de resolução e aplicações

O que é um sistema de equações lineares

Um sistema de equações lineares é um conjunto de duas ou mais equações do primeiro grau que partilham as mesmas incógnitas e devem ser satisfeitas em simultâneo. A forma-padrão para duas equações e duas incógnitas (x e y) é:

a₁·x + b₁·y = c₁
a₂·x + b₂·y = c₂

Resolver o sistema é encontrar o(s) par(es) (x, y) que satisfaz(em) as duas equações simultaneamente. Geometricamente, cada equação linear é uma recta no plano; a solução é o ponto de intersecção das rectas. Há três possibilidades:

• Uma solução única — as rectas cruzam-se num único ponto (sistema determinado).
• Infinitas soluções — as rectas coincidem (sistema indeterminado).
• Nenhuma solução — as rectas são paralelas mas distintas (sistema impossível).

Sistemas com mais equações ou mais incógnitas generalizam a lógica: em 3 variáveis, cada equação é um plano no espaço; a solução é a intersecção dos planos.

Métodos de resolução

Método da substituição

Isolas uma variável numa equação e substituis na outra:

1. Da eq. 1: y = (c₁ − a₁·x) / b₁
2. Substituis na eq. 2: a₂·x + b₂·(c₁ − a₁·x)/b₁ = c₂
3. Resolves em x
4. Voltas à eq. 1 e obténs y

Simples mas propenso a erros aritméticos se os coeficientes forem grandes.

Método da adição (ou eliminação)

Multiplicas as equações por constantes para que os coeficientes de uma variável cancelem ao somar:

2x + 3y = 12   × 2 → 4x + 6y = 24
5x − 6y = 3    × 1 → 5x − 6y = 3
                      ─────────
                      9x + 0y = 27
                      x = 3

Substituis x = 3 numa das equações originais e obtens y = 2.

Regra de Cramer

Para sistemas quadrados, define-se o determinante principal D:

D = a₁·b₂ − a₂·b₁

E as soluções são:

x = (c₁·b₂ − c₂·b₁) / D
y = (a₁·c₂ − a₂·c₁) / D

Se D = 0, o sistema é indeterminado ou impossível.

Forma matricial

O sistema escreve-se como Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x o vector das incógnitas e b o vector dos termos independentes:

[a₁ b₁] [x]   [c₁]
[a₂ b₂] [y] = [c₂]

Se A é invertível, x = A^{-1} b. Para sistemas grandes, usa-se eliminação de Gauss ou decomposições LU/QR — os algoritmos por trás de bibliotecas como NumPy, MATLAB e Excel.

Exemplo prático

Problema de mistura: um agricultor tem duas rações — a Ração A com 20% de proteína e a Ração B com 35%. Quer preparar 100 kg de mistura com 25% de proteína. Quantos kg de cada?

x + y = 100        (kg totais)
0.20·x + 0.35·y = 0.25·100  (proteína)

Substituição: y = 100 - x, portanto 0.20x + 0.35(100 - x) = 25, dando -0.15x = -10, x = 66.67 kg. E y = 33.33 kg.

Problema de movimento: um comboio parte de Lisboa a 120 km/h; outro, do Porto, a 100 km/h no sentido inverso. A distância Lisboa–Porto é 313 km. Onde se cruzam?

Sejam x = distância a Lisboa e y = distância ao Porto:

x + y = 313
x/120 = y/100  (tempos iguais)

Da segunda: x = 1.2y. Substituindo: 1.2y + y = 313, y = 142.3 km. Cruzam-se a ~171 km de Lisboa (aproximadamente Coimbra), ao fim de ~85 min.

Aplicações

Sistemas lineares aparecem em:

• Balanceamento químico — coeficientes estequiométricos são solução de sistema linear.
• Modelos económicos — matriz input-output de Leontief.
• Circuitos eléctricos — leis de Kirchhoff dão sistemas em correntes e tensões.
• Programação linear — optimização com restrições lineares (algoritmo Simplex).
• Regressão linear multivariável — normal equations resolvem-se como sistema.
• Computação gráfica — transformações e projecções em coordenadas homogéneas.
• Mecânica — sistemas de forças e treliças estruturais.

Erros comuns

Multiplicar só um lado da equação. Ao multiplicar uma equação por constante para o método da adição, tens de multiplicar ambos os lados — incluindo o termo independente.

Assumir solução única sem verificar D. Se o determinante for zero, o sistema pode ser impossível (sem solução) ou indeterminado (infinitas). Verifica antes de escolher método.

Sistema com mais equações que incógnitas. Nem sempre é impossível: pode ser um sistema sobredeterminado consistente se as equações forem compatíveis. Sem consistência, usa-se mínimos quadrados.

Confundir sinal em substituição. Erros de sinal são a origem número 1 de resultados errados. Escreve todos os passos.

Aplicar Cramer a sistemas grandes. Para n \times n com n > 3, Cramer é ineficiente (O(n!)). Usa Gauss ou LU, que são O(n^3).

Divisão por zero implícita. Se ao isolar uma variável o coeficiente for zero, o método falha. Escolhe outra variável para isolar.

Ver também

• Equação de 2.º grau — equações não-lineares.
• Trigonometria — sistemas com senos e cossenos.
• Regra de três — proporções lineares simples.