Conversor de Ângulos

Como converter ângulos: graus, radianos e grados

O que é um ângulo e as três unidades correntes

Um ângulo mede a abertura entre duas semirrectas com origem comum. Convencionalmente, uma volta completa corresponde à mesma abertura — o problema é que existem três formas populares de a dividir:

• Graus (°): uma volta = 360°. Herança babilónica (base 60 e divisibilidade). Unidade civil, escolar, náutica.
• Radianos (rad): uma volta = 2π rad ≈ 6,2832 rad. Unidade natural do cálculo diferencial e da física. É a unidade SI para ângulo plano.
• Grados ou gons (gon ou grade): uma volta = 400 gon. Adoptada pela topografia europeia continental (Portugal, França, Espanha) por facilitar cálculos decimais — 100 gon é um ângulo recto.

O radiano é o único que aparece em fórmulas físicas sem factor de conversão. sin(θ) em cálculo entende θ em radianos; sin(30°) numa calculadora só funciona se ela estiver em modo DEG. Confundir os modos é a origem #1 de erros em exames de matemática e engenharia.

Como se calcula

Fórmulas de conversão:

rad = graus × π / 180
graus = rad × 180 / π
gon = graus × 10 / 9
graus = gon × 9 / 10
gon = rad × 200 / π
rad = gon × π / 200

Valores de referência úteis:

• 30° = π/6 rad ≈ 0,5236 rad = 33,33 gon.
• 45° = π/4 rad ≈ 0,7854 rad = 50 gon.
• 60° = π/3 rad ≈ 1,0472 rad = 66,67 gon.
• 90° = π/2 rad ≈ 1,5708 rad = 100 gon.
• 180° = π rad ≈ 3,1416 rad = 200 gon.
• 360° = 2π rad ≈ 6,2832 rad = 400 gon.

Uma volta em graus tem 360, um dia tem 24 horas — a divisibilidade do 360 (por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30…) explica a sobrevivência da unidade babilónica.

Exemplo prático

Estás em 2026 a resolver um exercício de física: um pêndulo oscila com amplitude máxima de 15 graus e queres calcular o período aproximado. A fórmula do período simples é T = 2π √(L/g), válida para pequenas oscilações — mas a correcção para amplitudes maiores usa a amplitude em radianos.

• Amplitude em rad: 15 × π / 180 = 0,2618 rad.
• Se assumires que 15 rad é a amplitude (erro de leitura!), estás a supor 859°, quase duas voltas e meia. Fórmula rebenta.

Outro caso: um técnico topógrafo mede um azimute como 123 gon com estação total. Para colocar num relatório em graus para um cliente estrangeiro: 123 × 9 / 10 = 110,7°. Em radianos: 123 × π / 200 = 1,932 rad.

Uma rotação em CSS transform: rotate(45deg) corresponde a π/4 rad, mas o CSS aceita também rotate(0.7854rad) ou rotate(50grad). Todas produzem o mesmo efeito visual.

Contexto em Portugal

A topografia portuguesa herdou dos franceses o uso do grado (gon). O curso de Engenharia Geográfica na Universidade do Porto e o Instituto Geográfico do Exército operam nesta unidade. Estações totais Leica e Trimble usadas no país têm frequentemente GON como unidade default.

Contrastando:

• Ensino secundário: matemática A e B usam radianos a partir do 11.º ano. Trigonometria em graus no 10.º ano.
• Navegação marítima: cartas hidrográficas em graus, minutos e segundos de arco (38° 42' 24" N) — sistema sexagesimal, não decimal.
• Aviação: rumos magnéticos em graus (heading 270).
• Programação e engenharia mecânica: radianos por defeito nas linguagens (Math.sin(x) em JavaScript espera radianos).
• Astronomia amadora: unidades mistas — declinação em graus/min/seg, ascensão recta em horas/min/seg.

O Instituto Português da Qualidade (IPQ) reconhece o radiano como unidade SI oficial de ângulo plano.

Erros comuns

• Calculadora em modo errado: sin(90) dá 1 se estiveres em DEG, mas 0,8940 se estiveres em RAD. Este é o erro mais comum em exames. Verifica sempre o modo antes de calcular trigonometria.
• Confundir gon com grau: uma bússola marcada em grados (nos velhos manuais militares franceses) parece mostrar 100 = quarto de volta, o que confunde utilizadores que esperam 90.
• Converter só a parte inteira em coordenadas GPS: 38° 42' 24" são 38 graus, 42 minutos de arco, 24 segundos de arco. Em graus decimais: 38 + 42/60 + 24/3600 = 38,7067°. Deitar fora os minutos e segundos falseia posições em quilómetros.
• Somar ângulos além de 360°: 370° é matematicamente igual a 10°, mas em navegação um rumo 370 é código incorrecto — sempre modular 360.
• Assumir que ângulos negativos não existem: -45° = 315°, ambos representam a mesma direcção. Contexto define se é útil manter o sinal (sentido de rotação) ou reduzir ao intervalo [0, 360).
• Confundir gon com gradiente de derivada: gon (unidade de ângulo) e gradiente (vector) não têm nada a ver. Coincidência linguística infeliz em inglês (grad).

Ver também

• Conversor de ângulos — graus, radianos e grados.
• Trigonometria — cálculo com senos e cossenos.
• Polígono regular — ângulos internos e áreas.