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Polígono Regular — Área e Perímetro

Dado o número de lados n e o comprimento do lado, calculamos o perímetro (n × lado), a apótema (distância do centro ao lado), o raio da circunferência circunscrita e a área (½ × perímetro × apótema). Serve para triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, octógonos e todos os polígonos regulares até 1000 lados.

Área — hexágono
10,3923 m²
Perímetro12 m
Apótema1,7321 m
Raio circunscrito2 m
Ângulo interior120°
Ângulo central60°
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Polígono regular: área, perímetro e ângulos internos

O que é um polígono regular

Um polígono regular é uma figura fechada com todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais. Triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular, hexágono regular, octógono regular — todos partilham a mesma família de fórmulas simples, derivadas da sua simetria. Já polígonos irregulares exigem métodos específicos (Heron para triângulos, decomposição para polígonos gerais, integração para curvas).

A regularidade traz enormes vantagens práticas: um hexágono regular pavimenta o plano sem folgas (favos de mel, mosaicos), um octógono regula sinais de trânsito (STOP), um pentágono aparece na construção militar (Pentágono dos EUA) e em cristalografia. Em arquitectura clássica portuguesa, o claustro octogonal e a rotunda hexagonal são recorrentes.

Os polígonos regulares foram estudados por Euclides nos Elementos, e Gauss provou aos 19 anos (1796) que o heptadecágono regular (17 lados) é construtível com régua e compasso — resultado que ficou marcado no seu túmulo.

Fórmula

Para um polígono regular com n lados de comprimento L e apótema a (distância do centro ao ponto médio de um lado):

Perímetro:

P = n × L

Área:

A = (n × L × a) / 2 = (P × a) / 2

Ângulo interno:

θ = ((n − 2) × 180°) / n

Ângulo central (entre dois raios até vértices consecutivos):

θ_c = 360° / n

Relação apótema-lado (para calcular a se só souberes L):

a = L / (2 × tan(180° / n))

Área em função apenas do lado:

A = (n × L²) / (4 × tan(180° / n))

Área em função do raio circunscrito R (do centro ao vértice):

A = (n × R² × sin(360° / n)) / 2

Quando n → ∞, o polígono aproxima-se de um círculo, e A → πR² — como Arquimedes provou por aproximação de polígonos inscritos e circunscritos.

Exemplo prático

Hexágono regular de lado L = 10 cm.

  • Apótema: a = 10 / (2 × tan(30°)) = 10 / (2 × 0,5774) ≈ 8,66 cm
  • Perímetro: P = 6 × 10 = 60 cm
  • Área: A = (60 × 8,66) / 2 = 259,8 cm²
  • Ângulo interno: θ = (4 × 180°) / 6 = 120°

O hexágono regular tem a particularidade de o raio circunscrito ser igual ao lado (R = L). Por isso é fácil desenhar com compasso: marca um raio e transporta-o seis vezes na circunferência.

Sinal de STOP octogonal com lado de 30 cm.

  • Apótema: a = 30 / (2 × tan(22,5°)) ≈ 30 / 0,8284 ≈ 36,21 cm
  • Perímetro: P = 8 × 30 = 240 cm
  • Área: A = (240 × 36,21) / 2 ≈ 4345 cm² ≈ 0,435 m²
  • Ângulo interno: θ = (6 × 180°) / 8 = 135°

Esta área determina quanto material reflector se usa por sinal — informação relevante para orçamentos de sinalização rodoviária.

Pátio quadrangular de 20 m de lado num convento em Alcobaça:

  • Área: A = 20² = 400 m² (o caso trivial: quadrado tem apótema = L/2)
  • Perímetro: P = 80 m — comprimento das arcadas.

Quando usar

As fórmulas de polígonos regulares aparecem em:

  • Arquitectura — projectos com plantas simétricas, cúpulas geodésicas (aproximadas por polígonos regulares).
  • Engenharia mecânica — porcas hexagonais, cabeças de parafusos, engrenagens.
  • Design gráfico — logos, tessellations, padrões repetitivos.
  • Cristalografia — estrutura de moléculas (benzeno hexagonal), cristais.
  • Cartografia — grelhas hexagonais para representação uniforme (H3 da Uber).
  • Ensino secundário — capítulo de geometria no 8.º e 9.º ano.

O hexágono é o único polígono regular com mais de 4 lados que pavimenta o plano sozinho — combinado com a área máxima por perímetro (isoperimetria), explica por que as abelhas escolhem hexágonos para os favos.

Erros comuns

Confundir apótema com raio. Apótema (a) é do centro ao ponto médio de um lado; raio circunscrito (R) é do centro ao vértice. a < R sempre, e a = R × cos(180°/n).

Aplicar (n−2) × 180° / n ao ângulo central. Essa fórmula dá o ângulo interno (vértice do polígono). O ângulo central é 360°/n, diferente.

Usar graus onde a calculadora está em radianos. tan(30°) ≈ 0,577, mas tan(30 rad) ≈ −6,4. Verifica o modo da calculadora — erro clássico em exames.

Assumir que qualquer polígono equilátero é regular. Um losango tem lados iguais mas ângulos diferentes — não é regular. Regular exige ambas as condições: lados e ângulos iguais.

Não distinguir polígono convexo de estrelado. Um pentagrama tem 5 vértices “regulares” mas é estrelado, não convexo. Fórmulas clássicas aplicam-se só a convexos.

Ver também

Perguntas frequentes

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O que é a apótema?

É a distância do centro do polígono ao ponto médio de um lado. Coincide com o raio da circunferência inscrita (a que toca os lados por dentro). É diferente do raio circunscrito, que vai do centro a um vértice. Para um hexágono regular, apótema ≈ 0,866 × lado; raio circunscrito = lado.

Como se calcula a área?

A fórmula geral é A = ½ × perímetro × apótema. Para polígono de n lados de comprimento L: A = (n × L² ÷ 4) × cot(π/n). Triângulo equilátero: L²·√3/4. Quadrado: L². Hexágono: L²·3√3/2 ≈ 2,598·L². Aproxima cada vez mais a área do círculo à medida que n cresce.

Porque é que o hexágono aparece tanto na natureza?

Porque preenche o plano sem espaços vazios (junto com triângulo e quadrado) e, entre os três, é o que gasta menos perímetro por unidade de área — abelhas fazem favos hexagonais precisamente por isso, poupa cera. É também a forma da tesselação em placas tectónicas hexagonais.

Um polígono com muitos lados é praticamente um círculo?

Sim. Com n = 100 lados a área já está a 99,97% da do círculo circunscrito. A partir de n = 1000 é indistinguível a olho humano. A definição rigorosa de círculo por Arquimedes usa exactamente esta ideia: limite de polígonos regulares inscritos e circunscritos com n → infinito.

Ver também